Выражения и их преобразование- немного теории

Донизу

Выражения и их преобразование- немного теории

Створювати по Гурон на тему Ср Лип 11, 2018 4:23 pm

Рациональные, иррациональные, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические выражения и их преобразования



Определение области допустимых значений переменных выражения с переменными/ Визначення області допустимих значень змінних виразу зі змінними

Пусть задано выражение с переменными, скажем, x-3. Когда это выражение имеет смысл? Очевидно, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным (иначе квадратный корень нельзя извлечь). Иными словами,  область допустимых значений  выражения с переменной х: D=[3;+∞). А если выражение имеет вид  x-3/(x-4)? Ясно, что D=[3;4)U(4;+∞). Именно таков общий алгоритм решения- выбираем те значения переменных, для которых выражение имеет смысл.
Вот по сути и все. Далее- только решать задачи.

Определение тождественно равных выражений, тождественного преобразования выражения, тождества/ Визначення області  тотожно рівних виразів, тотожного перетворення, тотожності

Пусть есть два  выражения, будем называть их тождественными,  если при всех значениях переменных из области допустимых значений численные значения обоих выражений равны. Казалось бы, все просто. Рассмотрим выражения 1 (равно единице на всей числовой оси) и х/x . Тождественны ли выражения? Нет. Потому что при х=0 второй не определено. Равенство является тождеством, если для правой и левой части совпадают области допустимых значений, и при любом допустимом значении выражения в правой и левой части равенства равны (опять обратите внимание- учитывайте возможность того, что для разных выражений область допустимых значений переменных может быть разной- см. пример выше.).
Рассмотрим выражение х+х2. Очевидно, область допустимых значений переменной х D=(-∞; +∞). Умножим его на 5, а потом разделим на 5 то, что получилось. Это- тождественное преобразование, потому что при любом х, принадлежащем области определения D, выражения совпадают. А если умножить на 1+sin2x, а потом разделить на то же выражение? Подсказка- это тождественное преобразование. Сообразите почему.  
Вот по сути и все. Далее- только решать задачи.

Определение одночлена и многочлена/ Означення одночлена та многочлена

Одночленом будем называть выражение, в которое входят буквы, числа, их степени и произведения.  Одночлен стандартного вида про определению имеет вид А(число, называемое коэффициентом одночлена) умноженное на выражение, содержащее только произведение степеней разных букв, например 10Q4Z8. Многочлен-   по определению сумма конечного количества одночленов. Сумма показателей степеней одночлена (в примере выше- 4+8=12) называется степенью одночлена. А что такое степень одночлена имеющего вид «12,5»?
Многочлен- сумма нескольких одночленов. Многочлен стандартного вида- сумма одночленов стандартного вида, степень многочлена стандартного вида- максимальное значение  степеней одночленов- слагаемых. Вот по сути и все. Далее- только решать задачи.

Правила сложения, вычитания и умножения многочленов и одночленов/ Правила додавання, віднімання і множення одночленів та многочленів

Сложение и вычитание одночленов и многочленов- все очевидно, я не представляю, какие могут возникнуть проблемы.
Умножение  многочлена на одночлен- необходимо умножить каждое слагаемое  многочлена на одночлен и сложить результаты. Пример:

10х4y7 · (z5+x+y3)=10 х4y7z5+10х5y7+10х4y10


Умножение многочлена на многочлен- последовательно умножаем слагаемые первого многочлена на слагаемые второго и полученные произведения складываем. Пример:

2+3y4)·(z3+x)=x2z3+x3+3y4z3+3y4x.

Вот по сути и все. Далее- только решать задачи

Формулы сокращенного умножения/ Формули скороченого множення

Вот это тот самый случай, когда утверждения легко доказать. Мой учитель в свое время говорил, что запоминать не надо ничего, кроме того, что запоминается само. И вдвойне бессмысленно и даже вредно учить формулы наизусть- это приводит  не к пониманию и не умению решать задачи, а к «знаниям книжного шкафа»- вроде что –то знаешь, но откуда это что –то взялось, как получено и как  его применять- неясно. Итак- формулы сокращенного умножения.
a2-b2=(a-b)·(a+b)

Умножьте многочлены в правой части по правилам умножения многочленов, чтобы убедиться в правильности формулы.
(a+b)2=a2+2a·b+b2

Иными словами, квадрат суммы двух слагаемых равен сумме их квадратов+ удвоенное произведение. Докажите!- это очень просто, и запомнится тогда само. Заодно докажите, что квадрат разности равен разности квадратов минус удвоенное произведение уменьшаемого и вычитаемого: (a-b)2=a2-2a·b+b2.
Куб суммы- все аналогично- докажите  последовательным умножением (а+b)·(a+b)·(a+b):
(a+b)3=a3+3a2·b+3a·b2 +b3

Куб разности:

(a-b)3=a3-3a2·b+3a·b2 -b3

Сумма и разность кубов (докажите!):

a3+b3=(a+b)·(a2-a·b+b2)
a3-b3=(a-b)·(a2+a·b+b2)

Как доказать вторую формулу используя только первую (без  последовательного умножения многочленов)?
Вот по сути и все. Далее- только решать задачи.

Разложение многочлена на множители/  Розклад многочлена на множники

А вот это уже не ремесло,  когда можно указать стандартную последовательность действий, а в каком– то смысле искусство.  
Рассмотрим сначала простую разность кубов:

a3-b3=(a-b)·(a2+a·b+b2)

Слева сумма- справа произведение, т.е. уже выполнено разложение многочлена на множители. В общем случае многочлен может выглядеть устрашающе, но тем не менее, некоторые общие подходы к решению задачи о разложении его на множители указать можно. Прежде всего- смотрим,  нет ли общего множителя у многочлена- что то вроде
x2·(2x+1)2+x4=x2·(2x+1+x2). Получили выражение- произведение двух сомножителей. х2 он и есть квадрат, разложить дальше, очевидно, нельзя. А вот второй сомножитель- квадратный трехчлен, мы знаем, что его можно представить в виде произведения двух многочленов первой степени. В нашем случае получим x2·(1+x)2.  В случае более сложного многочлена ищите  возможность так сгруппировать его слагаемые, чтобы их можно было разложить на множители, скорее всего, после такого разложения станет ясно, что делать дальше.
Я понимаю, что изложенное выше, на первый взгляд, как- то не вдохновляет. Выход, как всегда, один- решайте задачи (или пытайтесь решить- если не получается, пишите сюда). Ведь что такое понять  что- то и научиться чему – нибудь? Это значит привыкнуть. Десяток- другой разложенных на множители  многочленов- и проблем не будет.

Определение алгебраической дроби/ Означення алгебраїчного дробу

Насчет того, что такое дробь, думаю, проблем с пониманием не будет- частное двух выражений. Если в числителе и знаменателе только числа- есть числовая дробь, если в них входят переменные- дробь с переменными. Рациональная (алгебраическая) дробь- числитель и знаменатель записаны с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень. А вот такая дробь sin (4)/(x4+y1/2)- рациональная согласно определению или нет?
Очевидно, всякая дробь с переменными имеет множество допустимых значений (как всякое выражение- дробь- частный случай выражения).  Мы рассматривали тождественные выражения,   дроби тоже  могут быть тождественными,  если для всей области определения (допустимых значений переменных) значения дробей равны.  Важно еще раз (как и в общем случае рассмотрения выражений)  отметить, что дроби могут быть тождественными только в  том случае, когда  множество допустимых значений (область определения) для обеих дробей одни и те же.  Рассмотрим  дроби (x+2)/(x+1) и 3/3. Обе дроби равны единице для всех х, кроме х=-1. Область определения (допустимые значения переменной х) для второй дроби- вся числовая ось, для первой дроби- вся числовая ось, кроме х=-1, D=(-∞;-1)U(-1;+∞).
Вот по сути и все. Далее- только решать задачи.

Правила выполнения действия с алгебраическими дробями/ Правила виконання дій з алгебраїчними дробами

Даже не знаю, что писать… Вот это тот случай, когда надо только и исключительно решать как можно больше задач. Важно, пожалуй, указать основное свойство дроби- если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, значение дроби не изменится. Именно так можно упростить дробь- представить числитель и знаменатель в виде произведения, один (или несколько)  сомножителей которого совпадают.
Попробуем сформулировать основные правила обращения с дробями как- то попроще (они на самом деле просты). Как сложить две дроби? Прежде всего привести их к общему знаменателю, если дроби имеют вид X/Y, Z/Y (в числителе и знаменателе не числа, а выражения!), то сумма, очевидно, будет: Х/Y+Z/Y=1/Y(X+Z)=(X+Z)/Y. С разностью дробей все аналогично. Приведение дробей к общему знаменателю- делаем умножением одной из них на одно и то же число или выражение.
Математики- народ дотошный. Что вам не нравится в приведенном выше выражении?
Умножение дробей- числитель умножаем на числитель, знаменатель- на знаменатель. Деление дробей- умножаем числитель делимого на знаменатель делителя, или, что то же самое, умножаем делимое на дробь, обратную делителю. Возвести дробь  в степень- отдельно возводим числитель и знаменатель.
Дробь А/B, обратная ей- дробь В /A (А и В-  выражения)
А/B·C/D=AC/BD;
A/B/(C/D)=AD/BC;
(A/B)q=Aq/Bq.
Вот по сути и все. Далее- только решать задачи или, если непонятно, как решить, то писать, что именно непонятно.


Определение и свойства логарифма, десятичного и натурального логарифмов/ Означення і властивості логарифма, десяткового та натурального логарифмів

Что такое логарифм? Логарифмом числа А (положительного) по основанию b (положительному и не равному единице- кстати, а почему не равному единице? Ладно, потому что единица в любой степени- это единица) называется  показатель степени, в которую надо возвести b, чтобы получить А. Записывается это так: logbA=C, bC=A.
Десятичный логарифм числа-  показатель степени, в которую надо возвести 10, чтобы получить это число. Записывается:  lg A=C. Натуральный логарифм числа А- показатель степени, в которую надо возвести некоторое число e≅2,718, чтобы получить число А, записывается ln A=C, A=eC. Оставим пока без ответа вопрос о том, чем таким провинилось это самое число е, что для него выделили особый символ натурального логарифма. Насчет  десятичного кстати тот же вопрос- для чего нам логарифмы в народном хозяйстве? Какая от них польза? С числами все ясно- все можно посчитать, с геометрией вроде то же, а вот абстрактное понятие логарифма- зачем оно?  Пока мы не сбудем отвечать на эти вопросы, отметим лишь, что:
- сама постановка таких  вопросов вполне оправдана,
- от  логарифмов польза есть, с ней мы еще разберемся, но пока стоит ограничиться определением и научиться оперировать с выражениями, в которые входят  логарифмы (на жаргоне – жонглировать логарифмами), тем более, что именно такое умении и понадобится нам во время   решения задач ЗНО.
Свойства логарифмов (в- положительное и не равное единице, С,D- положительные)
Logb1=0. Отражает тот простой факт, что любое положительное число в нулевой степени- это единица
Logb(CD)=logbC+logbD- логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей. Докажите это с помощью определения логарифма и свойств степеней.
Logb(C/D)=logbC-logbD- логарифм частного равен разности логарифмов сомножителей. Докажите это с помощью определения логарифма и свойств степеней.
LogbCQ=QLogbC, Q- действительное. Логарифм степени равен произведению логарифма основания на показатель степени.  Докажите это с помощью определения логарифма и свойств степеней. Положив Q=0 получим свойство 1.
LogbA=1/logAb, A положительное и не равно единице (почему это важно?). Докажите это с помощью определения логарифма и свойств степеней.
LogbA=logcA/logcb. С не равно единице (почему это важно?). Докажите это с помощью определения логарифма и свойств степеней.
Вот по сути и все. Далее- только решать задачи или, если непонятно, как решить, то писать, что именно непонятно.

Гурон
Admin

Кількість повідомлень : 5
Дата реєстрації : 09.07.2018

Переглянути профіль користувача http://math-zno.ukrainianforum.net

На початок Донизу

На початок


 
Права доступу до цього форуму
Ви не можете відповідати на теми у цьому форумі